Grafy

Obecně o grafech

Naměřená data lze pomocí výpočetních operací popsat na velmi podrobné úrovni. Přestože číselný popis je přesný, nemusí z něj být některé vztahy vždy dostatečně patrné. Často se proto naměřená data zobrazují v grafické formě (v grafu), ve které jsou vztahy (jako např. trendy ve změnách hodnot) viditelné na první pohled. V závislosti na konkrétní formě (např. na použité šířce čar, velikosti značek, …) mohou být data graficky znázorněna méně přesně, než je tomu u číselného popisu. To účelu, kvůli kterému jsou data reprezentovaná graficky, nemusí vadit, přesto je vhodné v případě grafického popisu přikládat také zdrojová data.

Z formálního hlediska jsou grafy znázorněním závislosti mezi různými veličinami, jako jsou např. absorbance roztoku a jeho koncentrace. Čistě matematicky může být tento vztah popsán nějakou funkcí, např. jako lineární závislost y_i = ax_i + b, kde hodnota veličiny y závisí na hodnotě veličiny x. Při takovémto popisu je jedné hodnotě veličiny x přiřazena právě jedna hodnota veličiny y.

Při reálných měřeních se jednotlivé výsledky měření veličiny y (např. absorbance roztoku) při jedné hodnotě veličiny x (např. koncentraci roztoku) mohou vzájemně odlišovat. To je zapříčiněno různými chybami (např. chybami měření, chybami přístroje, …) a skutečné hodnotě se tak pouze přibližují. V grafech je možné i tyto odlišné hodnoty zachytit a na rozdíl od matematických funkcí jedné hodnotě veličiny x přiřadit i více hodnot veličiny y.

Existuje velké množství typů grafů vhodných pro různé typy měření. Další text se bude zabývat pouze jedním typem grafu, takzvaným bodovým grafem (nebo též grafem XY).

Bodový graf

Graf XY představuje jednoduchý graf, který zakresluje hodnoty veličiny x a související hodnoty y do dvourozměrného souřadnicového systému. Každý takový graf má dvě osy hodnoty, konvenčně nazývané X a Y. Každá dvojice hodnot je pak vynesena na příslušných souřadnicích daných polohou na ose X a na ose Y. V příkladu s absorbancí se na osu X zapisuje hodnota koncentrace roztoku a na osu Y hodnota absorbance odpovídající dané koncentraci.

Naměřené údaje je nutné nejprve vhodně uspořádat. I když to není bezpodmínečně nutné, je vhodné naměřená data zadat do sloupců takovým způsobem, že první sloupec obsahuje hodnoty X a druhý sloupec hodnoty Y tak, že na stejném řádku jsou vždy odpovídající si hodnoty X a Y. Tento způsob ilustruje Obr. 37.

Data z Obr. 37 by bylo možné interpretovat tak, že pokud byla hodnota X rovná např. 3, pak při měření veličiny Y byla získána hodnota 6.

Alternativně by bylo možné uspořádat data horizontálně, v takovém případě by byly související hodnoty X a Y nad sebou, jak ilustruje Obr. 38.

Bodový graf se z takto zadaných dat vytvoří velice snadno. Nejprve je nutné oblast s daty označit (např. kliknutím myši na buňku v jednom rohu a táhnutím do protějšího). Poté se v ribbonu na pásu Vložení vybere možnost Bodový a zvolí se požadovaný podtyp grafu, jak ukazuje Obr. 39.

Do listu se vloží nově vytvořený graf a automaticky se označí pro úpravy. Že je graf označený se pozná podle širšího rámečku s úchyty po stranách (Obr. 40), pomocí kterých je možné např. měnit jeho rozměry.

Dokud je graf vybraný, jsou v menu programu zpřístupněny další možnosti pro práci s ním (viz Obr. 40 nahoře). Na pásu Rozložení je možné graf doplnit o další prvky, které přispějí k jeho přehlednosti. Jedná se například o popisky jeho os.

Program automaticky nastaví jako název grafu popis hodnoty Y (pokud je součástí vybraných dat). Na Obr. 40 bylo použito označení Y. Dvojklikem na tento nadpis je možné vyvolat jeho editaci a přepsat jej. Tento postup znázorňuje Obr. 41.

Jakýkoli prvek je možné z grafu odebrat. Stačí jej vybrat kliknutím a zmáčknout např. klávesu Delete. Na Obr. 42 je tímto postupem znázorněno odstranění legendy grafu.

Do grafu je možné přidat i další prvky, většinou je vhodné doplnit popisky osy X a Y a popsat veličinu, která je v těchto osách znázorněná (nejlépe včetně jednotek). Mnohé z těchto prvků je možné přidat pomocí pásu Rozložení. Po jejich vytvoření je často nutné upravit jejich text obdobným způsobem, jakým byl výše upraven název grafu. Přidání popisků vodorovné osy znázorňuje Obr. 43.

Obdobným způsobem je možné přidat i popisek svislé osy. Jak může výsledný graf vypadat, ilustruje Obr. 44.

Hodnoty veličiny X se v některých programech (např. Excel) nazývají jako kategorie, hodnoty veličiny Y se pak nazývají jako řady. V jednom grafu je potom možné zobrazit více řad (např. absorbance různých roztoků (různých látek) při stejných koncentracích).

Graf s více datovými řadami je možné vytvořit velice jednoduše. Jediným rozdílem je, že při označení oblasti s daty je nutné vybrat více sloupců (oproti Obr. 40). Prakticky tuto situaci ilustruje Obr. 45.

Graf se dvěma datovými řadami je znázorněn na Obr. 46.

Lineární regrese

Experimentální měření bývají zpravidla zatížena řadou chyb různého původu. V důsledku toho se mohou naměřené hodnoty veličiny od skutečných hodnot mírně odlišovat. Pokud je skutečná závislost dvou veličin lineární, neleží v důsledku chyb při měření jednotlivé hodnoty přesně na přímce. Pokud je z takto nepřesných bodů nutné odhadnout parametry hledané závislosti (např. rovnici přímky), je možné využít lineární regrese.

Moderní tabulkové procesy v sobě obsahují postupy, které (nejen lineární) regresi automatizují a odstiňují uživatele od nutnosti znát příslušnou teorii.

Postup je ilustrován na grafu uvedeném na Obr. 47.

Je patrné, že závislost Y na X bude s velkou pravděpodobností lineární. Zároveň je ale na první pohled zřejmé, že jednotlivé body neleží přesně na přímce. Pro proložení bodů přímkou je nutné kliknout pravým tlačítkem myši na některém z bodů, kterými má být přímka proložená. Zobrazí se kontextové menu zobrazené na Obr. 48.

V kontextovém menu na Obr. 48 se zvolí možnost Přidat spojnici trendu…, která zobrazí dialog Formát spojnice trendu uvedený na Obr. 49.

V dialogu Formát spojnice trendu je možné nastavit celou řadu parametrů, které ovlivní funkci použitou pro proložení bodů. Zvolená funkce nemusí být nutně lineární. Dále je užitečné zapnout volby Zobrazit rovnici v grafu a Zobrazit hodnotu spolehlivosti R.

Na Obr. 50 je již patrný výsledek. Mezi body se objevila přímka, která představuje závislost mezi oběma veličinami. Na první pohled je viditelné, jak moc se které měření od této hodnoty liší. V grafu je také zobrazená rovnice přímky (y=1,3x+1,7), kterou je možné použít pro výpočet hodnoty X z naměřené hodnoty Y. Hodnota R2 se označuje jako hodnota spolehlivosti. Zjednodušeně říká, do jaké míry proložená přímka odpovídá skutečné závislosti. Čím více se tato hodnota blíží 1, tím je pravděpodobnost, že je závislost skutečně lineární, větší. Naopak, je-li tato hodnota příliš nízká, je možné, že mezi naměřenými daty lineární závislost ve skutečnosti neexistuje.

Shrnutí kapitoly

V této kapitole byla velice stručně probrána problematika grafického znázorňování naměřených výsledků. Mezi hlavní poznatky patří:

• Grafické zobrazení naměřených dat může být méně přesné než číselné vyjádření, ale v určitých případech umožňuje rychlejší orientaci ve výsledcích.
• Moderní tabulkové procesory na základě zadaných dat vytvářejí grafy automatizovaně.
• Naměřená data je nutné vhodně uspořádat. V praxi se hodnoty obou sledovaných veličin uvádějí buď v řádcích, nebo sloupcích tak, aby se na stejném řádku (resp. sloupci) vyskytovaly ty dvojice hodnot, které spolu souvisejí.
• Existuje velké množství různých typů grafů. Každý typ je vhodný pro jinou situaci. Pro vyjádření vztahu mezi dvěma veličinami je užitečný např. bodový graf.
• V rámci jednoho grafu je možné zobrazit i více datových řad.
• Pro odhad skutečné závislosti je možné využít proložení naměřených hodnot přímkou (nebo jinou vhodnou matematickou funkcí).
• Získanou rovnici závislosti je možné využít ke zpětnému odečítání původní veličiny z naměřených hodnot závislé veličiny